分割等和子集

416. 分割等和子集

题意

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

思路

本题是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

类比于 $01$ 背包问题：有 $N$ 件物品和一个最多能背重量为 $W$ 的背包。第 $i$ 件物品的重量是 w[i]，得到的价值是 v[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

对应到本题中：

• 背包的体积为 sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

动规分析：

1. 本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。
   定义 DP 数组：dp[j] 表示背包总容量是 $j$ 的情况下，最大重量为 dp[j]。（注意：已经过状态压缩）
2. 判断条件：
   如果背包容量为 target，dp[target] 就是装满背包之后的重量，所以当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。
3. 确定递推公式：
   $01$ 背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])
   类似地，本题的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
4. 初始化：
   从 dp[j] 的定义来看，首先 dp[0] 一定是 $0$。
   如果题目给的价值都是正整数，那么非 $0$ 下标都初始化为 $0$ 就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非 $0$ 下标就要初始化为负无穷。
   这样才能让 DP 数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
   所以本题中非 $0$ 下标的元素初始化为 $0$ 就可以了。
5. 确定遍历顺序：
   如果是二维 DP 数组，物品遍历和背包遍历的顺序可以颠倒；
   但如果是一维 DP 数组，那么物品遍历放在外层，遍历背包放在内层，且内层循环必须倒序遍历！
   这样才能保证前面的状态不会被后面覆盖。

代码：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int num : nums) sum += num;
        
        // 和为奇数时，不可能划分成两个和相等的集合
        if (sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2;

        int[] dp = new int[target + 1];
        Arrays.fill(dp, 0);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = target; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }

        return dp[target] == target;
    }
}